von anders am Freitag 6. Oktober 2006, 09:27
@Bernd:
Flächen unter einer Kurve berechnet man mittels Integralrechnung, die Differentialrechnung ist die Umkehrung davon und liefert die jeweilige Steigung der Kurve.
@tycopower:
Wo liegt das Problem ?
Der Sinus ist am rechtwinkligen Dreieck definiert als das Verhältnis von Gegenkathete/Hypotenuse, d.h. es ist die Länge der Gegenkathete relativ zur Hypothenuse.
Dafür besteht natürlich eine Winkelabhängigkeit und den liefert die Sinusfunktion.
Der Winkel alpha wird in der Mathematik aber nicht in Grad angegeben sondern als Länge eines Bogens an einem Kreis. Wenn der Kreis den Radius 1 hat, spricht man vom Einheitskreis und sein Umfang ist 2*pi . Die Bogenlänge von 2*pi entspricht somit 360 Grad.
Wenn der Winkel alpha zeitlich veränderlich ist, so hat er eine Winkelgeschwindigkeit, die mit dem Buchstaben omega abgekürzt wird.
Daraus ergibt sich die Definition omega =2*pi*f
Die Frequenz f gibt an, wie oft sich ein Ereignis in einem bestimmten Zeitraum wiederholt.
1 Hertz bedeutet 1 mal (=360°) pro Sekunde.
Je höher omega ist, umso größer wird logischerweise der Winkel der in einem gewissen Zeitraum z.B. 1ms zurückgelegt wird. Der in einem gewissen Zeitraum t durchlaufene Winkel berechnet sich nach dem gesagten als Produkt von Winkelgeschwindigkeit und Zeit, also alpha = omega * t = 2*pi*f*t .
Das ist der mathematische Hintergrund der ersten Gleichung.
Die zweite Gleichung liefert lediglich die Momentanwerte einer sinusförmigen Wechselspannung.
Man kann sich überlegen, daß die Spannung die in einer Leiterschleife, die in einem Magnetfeld gedreht wird, einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf hat. Das entspräche dem Generator im Kraftwerk und ich will darauf hier nicht weiter eingehen.
Wichtig ist, daß das Kraftwerk eine Spannung mit sinusförmigem Verlauf und einer Frequenz von 50Hz abliefert.
omega wäre also 314.
Die Sinusfunktion liefert ja definitionsgemäß nur Werte zwischen -1 und +1 .
Um den Verlauf einer realen Spannung z.B. des 230V-Lichtstromnetzes zu beschreiben, braucht man daher noch einen Proportionalitätsfaktor, das ist Uspitze.
Die Spannung des Lichtnetzes wird aber nicht in Form der Spitzenwertes angegeben, sondern als Effektivwert. Definitionsgemäß ist das diejenige Wechselspannung, die an einem Ohm'schen Widerstand die gleiche Wärme erzeugt wie eine gleich hohe Gleichspannung.
Wegen des quadratischen Zusammenhangs P =U**2 / R ist die Berechnung des Zusammenhangs von Effektiv- und Spitzenwert etwas kompliziert, aber mittels der genannten Integralrechnung möglich. Für sinusförmige Spannungen ergibt sich dabei, daß die Spitzenspannung um das Wurzel(2)-fache größer als der Effektivwert ist. Für das 230V-Netz wäre Us also etwa 325V .
Deine zweite Gleichung würde in diesem Fall also ausgeschrieben lauten:
Umomomentan= Uspitze * sin (2*pi*f*t) oder, für das 230V Netz:
Umomentan = 325 * sin( 314 *t )
Als Zeitnullpunkt wählt man irgendeinen Nulldurchgang der Spannung an dem sie von negativen zu positiven Werten wechselt.