von Ney am Donnerstag 12. November 2015, 18:09
So einfach, wie du dir das vorgestellt hast ist es nicht. Es ist aber auch nicht kompliziert. Mein Vorschlag wäre, die Herleitung gemeinsam zu erstellen. Ich erkläre dir wie, zeige dir ein Teil davon und den Rest machst du. Selbstverständlich reserviere ich mir den einfacheren Anteil :)
Du hast hier einen OP mit Rückkopplung des Ausgangs zum Eingang über den Widerstand R6. Das bedeutet, der OP wird genau so viel Ausgangsspannung bringen, wie dazu nötig ist, damit zwischen dem negativen Eingang und dem positiven Eingang eine Differenz von Null entsteht. Das bedeutet praktisch, dass die Spannungen an den Eingängen, gemessen gegen die Masse (Ground der Schaltung) gleich sein werden. Das ist damit der Schlüssel für die Berechnungen. Ich werde den positiven Eingang übernehmen und du den negativen. Am positiven Eingang ist die Spannung gegen die Masse praktisch die Spannung an dem Widerstand R5. Um diese zu berechnen werden wir den Überlagerungssatz anwenden, da wir 2 Spannungen dort haben. Es geht um den Anteil von Ue3 und um den Anteil von Ue4. Un jetzt arg aufgepasst:
Wir denken uns alle existierenden Spannungen bis auf eine einzige als Kurzschluss und berechen den sich ergebenden Anteil der übrig gebliebenen Spannung. Diesen Vorgang wiederholen wir, bis wir alle Spannungen durch haben. Danach addieren wir die Ergebnisse mit dem korrekten Vorzeichen.
Zunächst Ue3 = 0. Damit liegt nun R3 zwischen Masse (an der Seite wo Ue3 ist) und dem positiven OP-Eingang , also parallel zu R5. Diese Parallelschaltung aus R3 und R5 bildet mit R4 einen Spannungsteiler =>
Upos1/Ue4 = (R3||R5)/[(R3||R5)+R4]
Dabei ist "Upos1" der erste Anteil der Gesamtspannung, der sich am positiven OP-Eingang ergibt
=> Upos1 = Ue4 x (R3||R5)/[(R3||R5)+R4] (Gleichung1)
Jetzt tun wir das gleiche mit Ue4 => Ue4 = 0
Damit liegt dieses Mal wiederum R4 parallel zu R5 und bildet mit R3 einen Spannungsteiler relativ zu Ue3 =>
Upos2/Ue3 = (R4||R5)/[(R4||R5)+R3] =>
Upos2 = Ue3 x (R4||R5)/[(R4||R5)+R3] (Gleichung 2)
Jetzt haben wir alle Spannungen durchgerechnet, es waren eben nur 2 Stück. Nachdem beide Anteile positiv vom Knotenpunkt der 3 Widerstände, also praktisch vom positiven OP-Eingang in Richtung Masse verlaufen (darauf sollst du unbedingt achten), können sie addiert werden, ohne dass ein Vorzeichenwechsel beachtet werden muss =>
Upos = Upos1 + Upos2
Aus Gleichung 1 und Gleichung2 =>
Upos = Ue4 x (R3||R5)/[(R3||R5)+R4] + Ue3 x (R4||R5)/[(R4||R5)+R3] (Gleichung 3)
Jetzt kommst du. Am negativen Eingang musst du jeweils zwei Spannungen zu Null denken und den Beitrag der übrigen berechnen. Sagen wir mal, du denkst dir zunächst Ue2 = 0 und Ua =0 =>
=>Der Beitrag von Ue1 wird ....R2 parallel zu R6 bildet einen Spannungsteiler mit R1
Uneg1/Ue1 = (R2||R6)/[(R2||R6) + R1] => Uneg1 = Ue1 x (R2||R6)/[(R2||R6) + R1]
So, die zwei weiteren Spannungen bearbeitest du. Wenn du fertig bist, bekommst du einen Gesamtausdruck für Uneg
Wenn das steht, dann lautet die Bedingung, wie am Anfang gesagt: Upos = Uneg
Daraus extrahierst du mathematisch Ua
Alles klar?
