Der NE556 ist ja nichts weiter als ein doppelter NE555. Es macht also nicht viel Sinn, dieses Bauteil einzukaufen und den zweiten Timer dann totzulegen.
1) Was die Dimensionierung der Oszillatorschaltung angeht: Die Widerstände sind viel zu niedrig !
Schau ins Datenblatt, welche Werte zulässig sind bzw. empfohlen werden.
2) Selbst wenn die Widerstandswerte akzeptabel wären, so ergäbe diese Dimensionierung niemals einen Sekundentakt.
Also nochmal nachrechnen!
3) Was soll die Zenerdiode ?
Das Timing des NE555 ist in weiten Grenzen von der Speisespannung unabhängig. Einzige Voraussetzung ist, daß die Spannung sich nicht schnell, z.B innerhalb einer Periode ändern darf.
Am einfachsten erreichst du das, indem du diese Schaltung einfach weglässt und eine frischen alkalischen 9V-Block verwendest.
Der Spannungsabfall am 1k-Widerstand wäre ohnehin zu groß.
Es ist gute Praxis einen Kondensator, z.B. 100nF, möglichst nah am IC über die Betriebsspannung zu legen, damit sich hochfrequente Störimpulse, wie sie beim Umschalten im IC entstehen, nicht über die Versorgungsleitungen ausbreiten.
Ohne einem solchen Kondensator könnten die kurzen Stromspitzen, die beim Umschalten in der Gegentaktendstufe des IC entstehen, auch einen Zusammenbruch der Betriebsspannung für weniger als 1µs verursachen und so zu schwer zu diagnostizierenden Fehlfunktionen führen.
Schuld daran ist die Induktivität zu langer Zuleitungen, die gemäß U= -L*dI/dt zu einer Induktionsspannung führt, die der Batteriespannung überlagert ist.
Der Kondensator direkt am IC liefert im Umschaltmoment den Strom oder absorbiert ihn und verhindert so, daß diese Stromänderungen auf der Zuleitung erscheinen.
P.S.:
Vorallem bei der Beschaltung des überzähligen Timers bin ich mir nicht so ganz sicher.
Der Timer verbraucht den geringsten Strom, wenn der Output High ist.
Lege also "Trigger" und "Threshold" auf GND, der Rest wird nicht angeschlossen.