Wenn:
U_in = 34V (24V * Wurzel2)
Uce = Kollektor-Emitter Spannung
U_aus = 4V
R = gesuchter Entlastungswiderstand
I = Strom durch die Schaltung
Dann ergibt die Maschengleichung:
U_in = R x I + Uce + U_aus
Wir multiplizieren die gesamte Gleichung mit „I“ (Transformation in Leistungsbilanz) =>
U_in x I= R x I x I + Uce x I + U_aus x I <=>
Uce x I = - R x I x I + U_in x I – U_aus x I <=> durch Ausklamern von I und Ersatz Uce x I = P_tot
P_tot = - R x I x I + (U_in – U_aus) x I
Wie man sieht ist das rechte Teil der Gleichung eine Funktion zweiten Grades. Da das Koeffizient der höchsten Potenz von I negativ ist, besitzt die Funktion ein Maximum und zwar in dem Punkt wo die erste Ableitung NULL ist:
Erste Ableitung auf Null gesetzt ergibt:
[- R x I x I + (U_in – U_aus) x I]‘ = 0 <=>
-2R x I + U_in – U_aus = 0 => der Strom, bei dem die Verlustleistung ihr Maximum erreicht ist:
I = (U_in – U_aus)/2R
Dieser Wert eingesetzt in der Gleichung für P_tot, die vierte Gleichung von oben mit
P_tot = - R x I x I + (U_in – U_aus) x I) ergibt:
P_tot = -R x [(U_in – U_aus)/2R] * [(U_in – U_aus)/2R] + (U_in – U_aus) x [(U_in – U_aus)/2R]
Nach dem mathematischen Umformen ist:
P_tot = (U_in – U_aus) x (U_in – U_aus) / 4R
Für die maximale Verlustleistung fehlt jetzt nur noch die maximale Eingangsspannung U_in. Die Ausgangsspannung ist ja 4V (geregelt), denn wir wollen, dass die Schaltung noch funktioniert.
Mit U_in = 34V =>
P_tot = (34 – 4) * (34 – 4) / 4R = 900V/ 4R
P_tot = 900(V^2)/4R (V^2 bedeutet Volt x Volt = Volt im Quadrat)
Beispiel für weitere Berechnungen:
Mal angenommen die zulässige maximale Verlustleistung des Transistors wäre P_tot = 0,5Watt bei der existierenden Umgebungstemperatur (die Ihr kennt = Einsatzgebiet von Euerer Schaltung). Da wir aber den Transistor nicht kochen wollen wählen wir etwa nur 80% davon => wir lassen nur 0,4Watt als maximale Verlustleistung zu! =>
0,4Watt = 900 V^2 / 4R =>
R = (900/0,4)/4 = 562,5Ohm
Wahl: 560Ohm
Wenn wir jetzt wissen wollen welcher Strom für diese maximale Leistung sorgt, dann setzten wir den Wert für R = 560Ohm in die ermittelte Gleichung des Stromes von oben:
I = (U_in – U_aus)/2R = (34 – 4)V / (2 x 560Ohm) = 26,8mA
Unterhalb dieses Stromes und auch oberhalb ist die Verlustleistung kleiner als das Maximum. Remember? Wir haben behauptet die Funktion der Verlustleistung am Transistor wäre eine Hyperbel!!!
Bei diesem Strom beträgt die Verlustleistung des Widerstandes:
P_R = 560Ohm * 26,8mA * 26,8mA = 0,4Watt
Am Widerstand ist das aber noch nicht das Maximum. Unter der Annahme, dass der Transistor gerade noch regelt (aktiver Bereich) => Uce = ca. 1,5V und
U_in = 34V
U_aus = 4V
R = 560Ohm
Steigt der Strom auf: I = (U_in – Uce – U_aus)/R = (34V- 1,5V– 4V)/560Ohm = 51mA
Die Verlustleistung des Widerstandes beträgt hierbei:
P_R = 51mA x 51mA x 560Ohm = 1,5Watt!!!!!
Wenn nun 1Watt-Widerstände zur Verfügung stehen, muss die Leistung durch einen Parallelschaltung aufgeteilt werden. Man nehme dann zwei Widerstände mit dem doppelten Wert (2*560 = 1120) und die Verlustleistung jedes Widerstandes wird 0,75Watt betragen.
Es werden somit zwei widerstände a 1,1kOhm eingesetzt und gut ist.
Natürlich könnte der Strom weiter ansteigen, aber dann nähert sich die Uce des Transistors der Sättigung und die Regelung existiert nicht mehr.
Sollte eine andere Verlustleistung für den Transistor existieren, so müsst Ihr mit diesem Wert das Beispiel für die weitere Berechnung revidieren.
Deutlich aber aus der ganzen Geschichte ist aber die Tatsache, dass eine Regelung von einer großen Eingangsspannung auf eine kleine Ausgangsspannung mit sehr großen Verlusten geschieht und der Laststrom der hierbei fließen darf sehr klein ist (...in unserem Beispiel max. ca. 50mA
Versucht das, mit großer Aufmerksamkeit zu verstehen. Es ist fürs Leben!